LA SCIMMIOTTA, PROTAGONISTA ASSOLUTA DELLA STORIELLA MATEMATICA.
1^ Parte. La presentazione.
Premessa.
Nel vastissimo territorio della matematica ricreativa, tra i numerosissimi quesiti ed enigmi di varia natura e difficoltà, esiste da molto tempo un problema, vero e proprio rompicapo, che nei suoi quasi cent’anni di vita, oltre ad avere fatto scorrere fiumi d’inchiostro per la sua complessità, continua a dare, per ciò che è possibile osservare, il classico filo da torcere a matematici esperti e dilettanti.
Si tratta del Problema dei Marinai, delle Noci di Cocco e delle Scimmiette, proposto ai solutori in diverse varianti, ognuna delle quali prevede un numero diverso di Marinai e di Scimmiette. Queste simpatiche creature, all’interno di ogni vicenda sono solitamente destinatarie di una ricompensa – vedremo più avanti nel testo del problema di che si tratta – ma esistono varianti in cui non è prevista alcuna ricompensa.
Aggiungo una piccola nota personale; d’ora in avanti, per tutta una serie di motivi affettivi familiari avrò cura di chiamare questi graziosi animaletti con il nome di “Scimmiotte”.
Un’immediata curiosità vuole che la soluzione numerica al quesito che il problema propone nella sua versione classica, sia già da qualche tempo di pubblico dominio; di contro, i metodi matematici per ottenere questo risultato, non sono chiari e sono ancora oggi oggetto di dibattiti e discussioni.
Nel tentativo di risolvere tale problema, nel passato sono stati proposti metodi più o meno complessi; qualcuno ha anche voluto proporre soluzioni fantasiose che fanno ricorso all’uso di grandezze negative, che a me sembrano fuori da ogni realtà e da ogni logica.
Questo mio studio desidera proporre all’attenzione di chi vorrà leggere queste mie note, un metodo risolutivo che ritengo semplice e immediato perché utilizza l’Algebra elementare che si studia nel primo anno dei nostri Licei.
Attraverso facili passaggi, il metodo offre il modo di determinare, per ogni variante del problema proposto, una formula finale con la quale si può agevolmente calcolare, la soluzione minima del problema proposto e ogni soluzione successiva.
A chiusura della trattazione ho anche trascritto alcune formule generali, altro frutto del mio lavoro, tramite le quali è possibile calcolare direttamente le soluzioni dei problemi. Se posso permettermi quindi una piccola-grande presunzione, vorrei mettere, come si dice in casi del genere, il classico macigno sopra la questione e chiudere il problema in maniera definitiva. Lascio comunque ai miei lettori il compito di dare un giudizio a questa mia impresa. Dovrò qua e là dilungarmi, ma solo per una maggiore chiarezza; di questa lungaggine mi scuso sin d’adesso.
Qualche cenno di cronaca.
Il problema, nella sua versione classica, mi si presentò per la prima volta qualche anno fa, mentre leggevo in maniera disordinata un libro di quesiti matematici, un regalo di Natale da me ricevuto nel 2009, dal titolo “Enigmi e Giochi Matematici”, scritto da un certo Martin Gardner, un matematico e divulgatore scientifico americano, oggi non più con noi da pochi anni. Di questo problema, del quale esiste una nutrita letteratura, nei libri, nelle riviste specializzate e nel Web, non avevo mai sentito accennare.
Indagando più a fondo ebbi modo di apprendere che fu ufficialmente presentato al grande pubblico dei lettori, in America, il 6 ottobre 1926, in “The Saturday Evening Post”, un periodico americano ancora oggi pubblicato, ma pare anche certa la presenza di altre varianti del problema in periodi precedenti. Ancora oggi il problema è oggetto di molta attenzione. Confesso che all’inizio mi sembrò il classico problemino da quattro soldi, magari un po’ noioso e semplice, e di poco valore. Così non era. Per niente. Lo trascurai per parecchio tempo, sino a quando, un anno dopo, quando intervenne la mia pensione da ferroviere, che mi regalò tanto tempo libero, lo ripresi e mi accorsi subito che era letteralmente “tremendo” e che richiedeva un’attenzione e un impegno considerevoli. Le sorprese non erano finite. Mi accorsi, subito dopo, che tutte le mie energie e conoscenze matematiche non erano per nulla sufficienti ad affrontare quella questione, certamente non usuale e che non poteva fare riferimento ad altre analoghe questioni per la sua assoluta originalità.
Qualche mese dopo, a fronte di studi molto impegnativi, riuscii a inventare due metodi risolutivi, dei quali, il primo, non è qui oggetto di trattazione perché oltre ad essere piuttosto complicato, si può applicare a una sola variante del problema, mentre il secondo, oggetto della presente trattazione, è idoneo a risolvere qualsiasi variante del problema, anche la più fantasiosa e complessa.
Il problema.
La storiella matematica, nella sua versione classica, vede cinque Marinai fare naufragio nella classica isola deserta. Costoro, dopo essersi ripresi dallo spavento, si accorgono che le condizioni dell’isola, tutto sommato, non sono per niente cattive. La temperatura è molto mite, c’è acqua potabile in abbondanza, non vi sono animali feroci, anzi c’è una simpatica Scimmiotta che fa subito amicizia con i nuovi ospiti dell’isola, e infine ci sono molte palme e molte Noci di Cocco sparse sulla spiaggia, ottime per un primo e immediato nutrimento.
Lì per lì, il primo pensiero, che si traduce subito in una prima attività, spinge i Marinai a raccogliere un certo quantitativo di Noci con il proponimento subito concordato di dividersele in un tempo successivo e in parti uguali. Tuttavia, il sonno e la fatica, di comune accordo con la notte che incombe, spingono i Marinai, a fine raccolta, a mettersi subito a dormire per liberarsi dalla stanchezza, rimandando la divisione delle Noci al giorno successivo.
Come avremo modo di costatare, non tutti si metteranno a dormire. Nottetempo e furtivamente, un primo Marinaio si alza e si porta silenziosamente nel punto in cui le noci sono state prima ammucchiate.
Ritenendo che il giorno appresso possano presentarsi questioni per la spartizione delle Noci e spinto dai morsi della fame, divide il mucchio in cinque parti uguali e si accorge che in questa suddivisione una delle cinque parti presenta una Noce in più delle altre quattro. Decide quindi di regalare questa Noce d’avanzo alla simpatica Scimmiotta, la quale dimostra subito di gradire l’omaggio. Il Marinaio nasconde quindi una delle cinque parti di Noci, rimette assieme le altre e, senza essere notato, si rimette a dormire.
La faccenda a questo punto si complica, perché subito dopo un secondo Marinaio si alza furtivamente e ripete le stesse vicende del primo, ignorando il fatto d’essere stato preceduto in questo furtiva attività, da analogo fatto comportamentale, da parte di un suo compagno. Questo secondo Marinaio divide le Noci che trova e che egli crede siano quelle della raccolta primitiva, in cinque parti; anche in questo caso, una di queste cinque parti ha una Noce in più e, come nel caso precedente, questa eccedenza finisce in regalo alla Scimmiotta. Nascosta la parte e rimesse a posto le Noci rimanenti, il secondo Marinaio silenziosamente si rimette a dormire. Neanche a dirlo, anche gli altri tre Marinai, uno per volta e in maniera furtiva, compiono in frangenti successivi le stesse vicende truffaldine, alla stessa maniera dei loro compari.
Il giorno dopo, al loro risveglio, i cinque Marinai, con la coscienza sporca che impedisce a ognuno di parlare, provvedono alla spartizione progettata il giorno del naufragio e ognuno riceve infine lo stesso identico quantitativo di Noci. Occorre soltanto notare che in quest’ultimo frangente la divisione si rivela esatta, nel senso che non avanza nessuna Noce eccedente, tanto che la Scimmiotta ci rimane malissimo. La domanda finale del problema è la seguente: Quante Noci di Cocco sono state raccolte, come minimo, nel giorno del naufragio? Il problema è tutto qui. Le varianti accennate sopra prevedono un numero diverso di Marinai, Scimmiotte, Noci e ricompense. Il numero dei Marinai deve avere un valore minimo canonico di due unità, mentre il numero delle Scimmiotte può avere un valore minimo pari a zero in un problema senza Scimmiotte e con soli Marinai. La Noce di ricompensa può essere assente o presente, oppure vi possono essere più Noci di ricompensa per ogni Scimmiotta. Per i valori massimi è necessario tenere presente alcuni limiti di cui avrò modo di riferire più avanti nel corso di questa trattazione. In ogni caso il metodo risolutivo che ho ideato si adegua facilmente a qualunque scenario.
